La théorie moderne du portefeuille de Markowitz et revue de la littérature du MEDAF

Préambule

Suite aux travaux de la théorie moderne du portefeuille de Markowitz et Tobin (1959), Sharpe (1964), Lintner (1964) et Mossin (1966) ont introduit le modèle d’évaluation d’actifs financiers (MEDAF).

Les années qui ont suivi son introduction, ont été marquées par de nombreux tests de validation empirique.

Certes, certaines études telles que celles de Black, Jensen et Scholes (1972) ont conclu sa validation, d’autres ont conclu son invalidation, c’est le cas des études de Fama et French (1992), qui ont montré une relation entre le rendement et le risque, ce qui est contraire à celle soutenue par le MEDAF.

Il est à noter qu’au départ, le modèle avait été conçu pour être appliqué aux actions. Cependant, le MEDAF a pris une dimension importante lorsque d’autres actifs financiers ont été ajoutées au portefeuille de marché.

Dans cet article, je vous présente les fondamentaux de la théorie moderne du portefeuille de Markowitz ; mais également la revue de la littérature du MEDAF.

Note: Cet article article est adressé à ceux et celles qui souhaitent découvrir les concepts fondamentaux de la théorie moderne du portefeuille.

Note : Je ne suis pas votre conseiller financier. En effet, je crée du contenu (ebook, articles, vidéos, suggestions) pour vous aider à atteindre la liberté financière.

La théorie moderne du portefeuille de Markowitz

La théorie moderne du portefeuille développée par Harry Markowitz dans les années 50 démarre du postulat que le risque d’un portefeuille d’actifs financiers peut être correctement mesuré par la variance de sa rentabilité.

Dans sa publication, il explicite et théorise le dilemme fondamental de la finance moderne :

1) Opter pour un rendement certain tout en acceptant un risque faible ou ;

2) Accepter de prendre un risque plus conséquent dans la perspective d’accroître ce rendement.

Il formalise et quantifie également l’effet de diversification. Selon lequel une sélection judicieuse de nombreux actifs dans un portefeuille permet de réduire le risque total subi pour un taux de rentabilité espérée donné.

Les travaux de Markowitz montrent en particulier que l’intérêt d’investir dans un titre financier ne doit pas être évalué individuellement. Mais dans le cadre de l’ensemble du portefeuille constitué par l’investisseur et d’un marché compétitif où de nombreux véhicules d’épargne (actions, obligations, etc.) sont en compétition.

Note : ceci est le constat global de la théorie moderne du portefeuille

Frontière efficiente de Markowitz

En absence d’actif sans risque, l’ensemble des points représentatifs de tous les portefeuilles possibles est constitué par la surface S représentée sur le graphique ci-dessus et est délimitée par l’hyperbole (en noir) ; dans laquelle se trouvent les portefeuilles efficients ou portefeuille de Markowitz.

Comme dit plus haut, un portefeuille diversifié permet à l’investisseur de réduire son risque sans compromettre sa rentabilité espérée.

L’adage populaire : « Il ne faut pas mettre tous ses œufs dans le même panier » est applicable dans ce contexte. Néanmoins, un autre adage : « qui ne risque rien n’a rien » l’est également. La prise de risque permettra d’augmenter la rentabilité espérée du portefeuille. Ces deux adages constituent l’un des concepts les plus importants de la finance.

En particulier le second, puisqu’une augmentation d’espérance de rentabilité requiert une prise de risque supplémentaire.

Frontière d’efficience avec un actif sans risque et théorème de séparation

La présence d’un actif sans risque est très importante, tant sur le plan théorique qu’en pratique.

D’une part, la frontière efficiente devient la demi-droite (Figure 4) tangente à la frontière d’efficience de Markowitz passant par le point r.

T est le portefeuille efficient tangent et contient uniquement des actifs risqués. L’investisseur choisira le portefeuille situé sur cette demi-droite qui maximise son espérance de rendement. Tout portefeuille efficient peut être obtenu par combinaison de l’actif sans risque et le portefeuille tangent T.

Les portefeuilles qui sont bien diversifiés, c’est-à-dire efficients, alors la relation entre rentabilité espérée et risque est donc linéaire, résultat justifiant par sa simplicité l’adoption de l’écart-type plutôt que de la variance.

Le résultat fondamental de Tobin (1958) selon lequel tous les portefeuilles efficients sont des combinaisons de l’actif sans risque et du portefeuille tangent est le « théorème de séparation en deux fonds » : tous les portefeuilles efficients se conçoivent à partir de deux fonds (r et  T). Les investisseurs détiennent alors tous une combinaison du portefeuille d’actifs risqués T et de l’actif sans risque.

Seuls les poids qu’ils allouent à T et à r dans cette combinaison varient en fonction de leur aversion au risque et de leur richesse.

Ce théorème de séparation en deux fonds dû à (Markowitz et Tobin) est à l’origine, et justifie, l’existence des fonds mutuels (SICAV et FCP). Ces deux fonds quelconques mais bien gérés suffisent à satisfaire les besoins de tous les investisseurs qui ont le même horizon d’investissement. Ces derniers se contentent de les combiner selon des poids qui dépendent de leurs richesses et aversions au risque.

L’économie réalisée en pratique par les investisseurs sur leurs coûts de transaction (frais d’achat et de ventes de titres) et d’information peut ainsi être considérable.

Rendement attendu et risque d’un portefeuille Markowitz

Dans ce modèle, le rendement attendu d’un portefeuille est la somme des rendements des actifs qui le composent, pondérés par leur poids. Soit :

avec : 

Le risque est défini par la volatilité du portefeuille qui correspond à son écart-type :

avec      la variance que l’on calcule de la manière suivante, pour un portefeuille composé de deux actifs :

avec :
 : covariance entre les deux actifs que l’on peut exprimer en 
:  la variance de l’actif
et  la corrélation entre les deux actifs

Critiques adressées à la théorie moderne du portefeuille de Markowitz

Il est à noter que les travaux de Markowitz se sont arrêtés à l’étude du comportement optimal d’un investisseur individuel. Cependant, un marché concurrentiel implique de nombreux autres investisseurs qui essayent de maximiser leur rentabilité et dans lequel des prix d’équilibre s’établissent pour une action donnée.

La prise en compte que le marché regorge d’investisseurs aboutit sous certaines hypothèses à un modèle qui exprime les rentabilités espérées d’équilibre.

Ce modèle est le Capital Asset Pricing Model (CAPM) ou Modèle d’Evaluation (ou d’équilibre) des Actifs Financiers (MEDAF).

Revue de la littérature du MEDAF

Introduit dans les années 1960 par les Américains William Sharpe (1964), John Lintner (1965), et le Norvégien Jan Mossin (1966) le MEDAF représente la suite des travaux de Markowitz. En plus d’être un modèle d’équilibre répondant à la double question « à quoi sont égales les rendements espérés ?

Comment les cours d’équilibre sont-ils établis? », le MEDAF permet de résoudre un problème majeur: la mesure du risque d’un titre individuel.

Pour tout actif financier pris individuellement, la relation entre risque et rentabilité espérée est croissante de manière linéaire. Pour un portefeuille bien diversifié en présence d’un actif sans risque.

Toutefois, la mesure de risque est différente pour une action isolée et pour un portefeuille diversifié. En effet, la mesure du risque d’un titre individuel est estimée par sa covariance avec le portefeuille P; dans lequel il est intégré, ce qui rend subjectif le risque en ce sens, vu qu’il dépend du portefeuille de l’investisseur.  

Le MEDAF permet donc de faire disparaître cette difficulté : le risque du titre i est mesuré, par sa sensibilité βi aux variations du marché. C’est-à-dire sa covariance avec le marché, et cette mesure du risque est la même quel que soit l’investisseur.

Ce modèle permet d’établir une relation entre le rendement espéré d’un titre et son risque systématique (Βi).  Le risque d’un titre devient donc objectif en ce sens.

Expression mathématique du MEDAF

Le MEDAF, modèle à une période, décrit la rentabilité d’un actif financier comme le rendement de l’actif sans risque additionnée à une prime de marché pondérée par le Βi de l’actif.

Représentation graphique du MEDAF

Le graphique ci-dessus nous montre bien une relation linéaire entre le rendement espéré du titre et son risque systématique. De plus, étant donné que la prime de marché est strictement supérieure à 0, le rendement espéré du titre va dépendre positivement du βi du titre. La relation entre le rendement espéré et le risque systématique est linéaire et positive.

Risque spécifique et risque systématique

Lorsqu’un investisseur achète un titre financier, celui-ci s’attend à recevoir, dans un horizon futur, une certaine valeur ou rendement espéré. Ainsi la notion de risque fait référence de façon générale à l’incertitude qui règne sur le rendement attendu par l’investisseur. On distingue deux types de risques :

• Le risque spécifique : c’est le risque qui est propre au titre (le risque qui affecte un titre bien précis) et qui peut être réduit avec portefeuille diversifié

• Le risque systématique : c’est le risque provenant du marché qui affecte l’ensemble des titres, qui contrairement au risque spécifique est non diversifiable; et dont les fluctuations dépendent surtout de facteurs macroéconomiques. Il est mesuré par le βi du titre par rapport au marché, qui représente la sensibilité du rendement du titre par rapport aux variations du rendement du marché.

Βêta

Il représente la sensibilité du rendement du titre par rapport aux fluctuations du rendement du marché. Au niveau de son interprétation 4possibilités existent :

• β = 1, cela signifie que le titre varie dans le même sens et dans les mêmes proportions que celui du marché ;

• β < 1, cela signifie que le  titre varie dans des proportions moindres que le marché ;

• β > 1, cela signifie que le titre varie et dans des proportions plus élevées que le marché (penny stock) ;

• β < 0, cela signifie que le rendement du titre varie dans le sens contraire à celui du marché.

Les hypothèses de recherche du MEDAF

L’univers du MEDAF obéit à certaines règles bien spécifiques afin que la formule de la rentabilité de l’actif fonctionne. Ci-dessous les hypothèses de base tirées des travaux de Markowitz sur la théorie moderne du portefeuille :

1. Il n’existe ni de coûts de transactions ni de taxes ;
2. La vente à découvert ou l’achat d’un titre n’a aucune incidence sur son prix ;
3. Les investisseurs sont averses au risque et rationnels ;
4. Tous les investisseurs ont le même horizon d’investissement ;
5. Les investisseurs contrôlent le risque de leur portefeuille par la diversification ;
6. Le marché est entièrement libre et tous les actifs peuvent y être échangés ;
7. Les investisseurs peuvent emprunter et prêter des montants illimités au taux sans risque, sans que cela ait une incidence sur le prix de l’action ;
8. Toutes les informations sur le marché sont disponibles pour tous les investisseurs ;
9. La concurrence sur les marchés est parfaite et non faussée ;
10. Tous les actifs financiers peuvent être divisés en actifs de plus petite taille ;
11. Tous les investisseurs ont un portefeuille de Markowitz car ils ne considèrent chaque action que sous son aspect moyenne-variance.

Note : Comme nous pouvons le constater, l’univers du MEDAF est parfait et ne peut consister qu’en une approximation grossière du monde réel. 

Cependant, la majorité des hypothèses ne sont pas vérifiées telles que les hypothèses 7 et 11. Effectivement, toutes transactions d’une certaine taille affectent le cours d’une action et peu d’investisseurs ont un portefeuille de Markowitz.

Modèles testant la validité du MEDAF

Les années qui ont suivi l’introduction du MEDAF ont été marquées par de nombreux tests empiriques ayant pour objectif de tester la validité de ce modèle. Les résultats de ces premières études ont permis d’imposer le MEDAF comme le modèle de référence en finance de marché.

Cependant, d’autres chercheurs se sont penchés sur le sujet. Ils ont adressé des critiques aux méthodes empiriques utilisées pour tester la validité du MEDAF Roll (1977). En effet, certaines anomalies ont été relevées au fil du temps après des résultats empiriques concernant le modèle du MEDAF. Il est impossible de calculer avec certitude la rentabilité espérée du marché, ce qui fausse le résultat final. De plus, l’effet taille (PER) n’est pas pris en compte dans le modèle.

Modèle de Black, Jensen et Scholes (1972)

L’objectif de ce modèle est de mesurer les paramètres aj et Bj, afin de tester la validité du MEDAF. En effet, nous testons l’hypothèse nulle selon laquelle la constante aj est égale à zéro.

Si cette hypothèse nulle est rejetée, cela signifie que le modèle ne parvient pas à expliquer correctement la prime de risque du titre : ce qui mène à l’invalidité du modèle.

Cependant si l’hypothèse nulle n’est pas rejetée, cela implique que le modèle capte parfaitement les variations de la prime de risque du titre : le modèle est ainsi validé.

Toutefois, il se peut qu’il y ait un biais au niveau de l’estimation de aj, dans le cas où des variables non-corrélées avec Rmt auraient été omises.

Pour tester la validité du MEDAF, les auteurs ont utilisé des données sur les rendements mensuels des actions cotées au NYSE sur la période 1931 à 1966.

Les actions ont par la suite été regroupées en fonction de leursβi (par ordre croissant) en 10 portefeuilles. Par la suite, ils ont appliqué la formule de régression de l’approche avec série chronologique :

Résultats des tests

Ce test permet de conclure que la constante qui est supposée être nulle selon le MEDAF, s’avère être non significativement différent de zéro que dans 30 % de des cas, avec un niveau de signification de 1%.

Leur principale découverte fut l’existence d’une relation entre le coefficientβi et la constante de la régression. Effectivement, ils ont remarqué dans leurs résultats que la constante de la régression est positive lorsque le βi est inférieur à 1 et qu’elle est négative lorsque celui-ci est supérieur à 1.

Ils ont poursuivi leurs travaux en procédant à une analyse transversale, au cours de laquelle ils ont régressé la moyenne des primes de risque mensuelles de chaque portefeuille sur leur βi.

Avec cette analyse, les résultats obtenus ont montré que la constante était positive et significativement différent de zéro et que le coefficient du βi était inférieur à la moyenne de la prime de risque.

Black, Jensen et Scholes ont donc conclu que leurs résultats était en contradiction avec la version du MEDAF de Sharpe mais en accord avec celle de Black (1972).

Toutefois, notons que leurs travaux dont l’une des particularités était la réduction du biais lié aux erreurs d’estimation du risque systématique, a fortement contribué à l’amélioration de la méthode utilisée dans la finance, en introduisant pour la première fois la méthode des portefeuilles.

Modèle de Fama et Macbeth (1973)

Ce modèle propose une extension du modèle de Black, Jensen et Scholes (1972). Le principal objectif de ce modèle est de pouvoir faire face aux limites du dernier modèle quant aux hypothèses sur la stabilité du βi.

Pour ce faire, ils ont régressé chaque titre sur les facteurs de risque, afin de trouver leur βi sur une période de 4 ans. Les actions sont ensuite classées dans 20 différents portefeuilles sur base de leur βi (par ordre croissant). Enfin, la dernière étape consiste à régresser les rendements des portefeuilles sur les βi de périodes antérieures afin de trouver les primes de risques associées à chaque facteur de risque.

Par ailleurs, notons que ces auteurs ont testé la validité du MEDAF en analysant les 3 principales implications de ce modèle, qu’ils ont considérées comme des hypothèses afin de s’assurer qu’elles sont vérifiées dans les résultats de leurs travaux.

Pour rappel, ces 3 hypothèses sont : « La relation entre le rendement espéré d’un actif et son risque systématique est linéaire. Le risque systématique de l’actif est une mesure complète du risque de cet actif . Dans un marché où les investisseurs ont de l’aversion pour le risque, la relation entre le rendement espéré et le risque est positive ».

Broquet, Cobbaut, Gillet et Van den Berg (2004). A la fin de leurs travaux ils sont arrivés à la conclusion selon laquelle leurs résultats ne leur permettaient pas rejeter de façon formelle ces trois hypothèses.

Roll (1977)

Selon Roll, le MEDAF n’est pas testable. D’une part, il rappelle que le portefeuille de marché observé est en réalité qu’une approximation du portefeuille du marché.

D’autre part, il démontre que la validation de l’hypothèse de linéarité par les tests réalisés dans les années 70, n’est qu’une conséquence mathématique.

En effet, si le portefeuille figurant dans la spécification du MÉDAF, est sélectionné sur la vraie frontière moyenne-variance efficiente. Alors il existe une relation linéaire entre le rendement espéré des titres et leur βi estimé.

A cela, il souligne que l’efficience ex ante d’un portefeuille de référence ne peut être testée si celui-ci est choisi selon des critères d’efficience ex post (sur la frontière efficiente).

Fama et French (1992,1993)

Afin de tester la validité du MEDAF, Fama et French (1992) ont intégré l’effet de taille et l’effet de caractéristiques telles que le rapport B/M. Les résultats de leurs études allaient provoquer une polémique, puisqu’ils annonçaient la « mort du βêta ».

En effet, selon ces auteurs, les rendements des actifs financiers sont sensibles à deux paramètres qui n’apparaissent pas dans le MEDAF: la capitalisation des titres et le rapport B/M.

Pour Fama et French ce rapport classifie les titres le long d’un ensemble aux extrémités duquel on trouve les growth stocks (valeurs de croissance) et les value stocks (valeurs à revenus).

Après avoir classé les titres par ordre de taille et les avoir regroupés par déciles. Ils ont constaté que les portefeuilles obtenus ont des rendements d’autant plus élevés que leurs βi sont plus grands. Cependant, ils ont également constaté que les βi des portefeuilles augmentent avec la taille des titres. Et qu’à taille donnée les βi sont inversement corrélés avec leurs espérances de rentabilité.

De plus, ils ont également constaté que les βi s des portefeuilles varient directement avec le rapport B/M. Effectivement, les portefeuilles ayant les plus forts βi s sont aussi ceux qui ont la rentabilité moyenne la plus faible. Ce résultat est en contradiction totale avec le MEDAF. Les résultats de Fama et French (1992) permettent de soulever deux questions:

1) comment modéliser la valorisation des actifs financiers et

2) comment expliquer les effets de taille et rapport B/M ?

Modèle Fama & French

À la première de ces deux questions, Fama et French (1993) proposent un modèle original à trois facteurs. Dans ce modèle, les rentabilités moyennes excédantes des titres sont expliquées par la prime de risque du marché, à laquelle s’ajoutent deux facteurs : SMB (Small caps Minus Big caps) et HML (High B/M Minus Low B/M).

Ces deux facteurs de risque représentent respectivement l’effet de taille et l’effet de valeur. Ce modèle peut se représenter par la relation :

Ainsi avec ce nouveau modèle, ils sont arrivés à la conclusion que la taille et l’effet de valeur constituent les principaux éléments permettant d’expliquer les variations du rendement espéré du titre. Alors que le βi présente une performance explicative faible.

Néanmoins, le βi permet de mesurer le prix du risque. Ce que les deux autres variables ne permettent pas de faire. Certes, Fama and French (1992) ont rejeté totalement le modèle du MEDAF.

Cependant, la critique de Fama et French a permis de souligner la capacité du MEDAF d’expliquer l’importance de la variabilité des rendements.

Dès lors que l’on prend en compte certains facteurs ignorés dans les travaux antérieurs.  Malgré cela, ce modèle demeure l’une des théories les plus utilisés dans la finance moderne.

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Avis

Bibliographie

• H. Markowitz (1959). Portfolio selection: efficient diversification of investments. Wiley, N.Y, 1959. (Théorie moderne du portefeuille de Markowitz)
• Sharpe W., “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk”, Journal of Finance, 19, 1964, p. 425-442
• Lintner J., « The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolio and Capital Budgets ». Review of Economics and Statistics, 47, 1965.
• MOSSIN J., « Equilibrium in a Capital Asset Market », Econometrica, 1966.
• F. Black, M.C. Jensen, and M. Scholes, (1972). The capital asset pricing model : some empirical tests. In M.C Jensen, editor, Studies in the Theory of Capital Markets. Praeger, N.Y, 1972.
• E. Fama and K. French, (1992). The cross-section of expected stock returns. Journal of Finance, 47 :427—65, June 1992.
• R. Roll, (1977). A critique of the asset pricing theory’s tests: part i : On past and potential testability of the theory. Journal of Financial Economics, 4 :129—76, 1977.
• Braquet Claude, Cobbaut Robe1i, Gillet Roland et Van den Berg André. 2004. «Tests empiriques du MEDAF». Chap. in Gestion de portefeuille, 4e éd. p. 178-191. De Boeck Supérieur.